Родился Аггей Александрович 16 декабря 1912 года в селе Знаменском Ирбитского района. Окончил Знаменскую начальную школу и Тавдинское ФЗУ. Работал на лесоразработках, на заводе, электростанции. В декабре 1932 года Тавдинским райкомом комсомола направлен на учебу в летную школу.
В Красной Армии с 1934 года. 20 ноября 1934 года зачислен курсантом-пилотом военной школы морских летчиков в городе Ейске, по окончании которой старшина Елохин А.А. стал военным пилотом 25-й легкобомбардировочной авиационной эскадрильи.
Весной 1939 года прибыл в Одессу, в формируемый 69-й истребительный авиационный полк.
За два дня до начала войны назначен командиром четвертой эскадрильи.
Командир эскадрильи 69-го истребительного авиационного полка (21-я смешанная авиационная дивизия, Южный фронт) старший лейтенант Елохин к сентябрю 1941 совершил 128 боевых вылетов, провел 39 воздушных боев.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 февраля 1942 года за образцовое выполнение заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками гвардии старшему лейтенанту Елохину Аггею Александровичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 987).
23 июня 1942 года в тяжелом бою под Харьковом  самолет штурмана 9-го гвардейского полка капитана Елохина был подбит. При посадке израненной машины на неровное поле крылатая машина перевернулась и стала гореть. Летчик не успел выбраться из кабины...
Всего за период боевых действий совершил 136 боевых вылетов, участвовал в 41 воздушном бою и сбил лично 4 самолета и 6 — в группе с товарищами.
Награжден орденом Ленина, орденом Красного Знамени, орденом Красной Звезды. Именем А.А. Елохина названа улица в г.Тавде и Тавдинский техникум им. А.А. Елохина.